问答题
设一凸的光滑曲线连接了O(0，0)，A(1，4)两点，而P(x，y)为曲线上任意一点，已知曲线与线段
所围区域的面积为
，求该曲线的方程．
所围区域的面积为
，求该曲线的方程．
【正确答案】
【答案解析】[分析与求解] 设曲线方程为y=y(x)．
1°首先写出曲线y=y(x)与线段
所围区域面积S(x)的表达式．
由于y=y(x)是凸的，所以O、P两点间的曲线在线段
上方，
于是
按题意：
，即
． ①
2°解含变限积分的方程——转化为微分方程．
两边求导得
． ②
(①式中令x=0时，等式自然成立，无需加其他附加条件，①与②等价)．化简得
解此一阶线性方程，两边乘
，积分得
3°
C，y(0)=0，即曲线过原点O，又曲线经过点A(1，4)，即由y(1)=4
C=0．
因此求得曲线
1°首先写出曲线y=y(x)与线段
所围区域面积S(x)的表达式．
由于y=y(x)是凸的，所以O、P两点间的曲线在线段
上方，
于是
按题意：
，即
． ①
2°解含变限积分的方程——转化为微分方程．
两边求导得
． ②
(①式中令x=0时，等式自然成立，无需加其他附加条件，①与②等价)．化简得
解此一阶线性方程，两边乘
，积分得
3°
C，y(0)=0，即曲线过原点O，又曲线经过点A(1，4)，即由y(1)=4
C=0．
因此求得曲线