单选题
设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，则“
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 实际上，在仅设“f(x)在x=x0的某邻域内有定义”的条件下，“[*]存在等于A”与“f'(x0)存在等于A”毫无因果关系．举例说明如下：
例如，设
[*]
当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，[*]．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“[*]存在等于A”不是“f'(x0)=A”的充分条件．
又如，设
[*]
有 [*]
f'(0)存在等于0，而[*]不存在．可见“[*]存在等于A”不是“f'(x0)=A”的必要条件．
[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x0的某去心邻域内可导，并设[*]存在等于A，则f'(x0)亦存在且等于A”今给予征明如下：
由f(x)在x=x0处连续，所以[*]，极限
[*]
为“[*]”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x0的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则条件(2)．又[*]存在等于A，满足洛必达法则条件(3)，所以
[*]
即f'(x0)=A。证毕．此证明中，条件“设f(x)在x=x0处连续”十分重要．不然，得不出“f'(x0)存在且等于A”的结论．
例如，设
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当x≠0时f(x)=1，f'(x)=0，[*]．但f(x)在x=0处不连续，所以f'(0)不存在．所以“[*]存在等于A”不是“f'(x0)=A”的充分条件．
又如，设
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有 [*]
f'(0)存在等于0，而[*]不存在．可见“[*]存在等于A”不是“f'(x0)=A”的必要条件．
[评注] “设f(x)在x=x0处连续．在x=x0的某去心邻域内可导，并设[*]存在等于A，则f'(x0)亦存在且等于A”今给予征明如下：
由f(x)在x=x0处连续，所以[*]，极限
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为“[*]”型，满足洛必达法则条件(1)．又因在x=x0的某去心邻域f(x)可导，故满足洛必达法则条件(2)．又[*]存在等于A，满足洛必达法则条件(3)，所以
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即f'(x0)=A。证毕．此证明中，条件“设f(x)在x=x0处连续”十分重要．不然，得不出“f'(x0)存在且等于A”的结论．