解答题
3.[2006年] 四维向量组α1=[1+a，1，1，1]T，α2=[2，2+a，2，2]T，α3=[3，3，3+a，3]T，α4=[4，4，4，4+a]T．问a为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?在α1，α2，α3，α4线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．
【正确答案】解一 若α1，α2，α3，α4线性相关，即|α1，α2，α3，α4|=0，而|α1，α2，α3，α4|=a3(a+10)，
于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．
当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．
当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．
显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．
解二 设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到
当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．
当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到
于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．
当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．
当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．
显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．
解二 设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到
当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．
当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到
【答案解析】