设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η
1
，…，η
n－r＋1
是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为
x=k
1
η
1
+…+k
n－r＋1
η
n－r＋1
，其中k
1
+…+k
n－r＋1
=1。
【正确答案】正确答案：设x为Ax=b的任一解，由题设知η
1
，η
2
，…，η
n－r＋1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
一η
1
，ξ
2
=η
3
一η
1
，…，η
n－r
=η
n－r＋1
一η
1
，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证： 设ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
线性相关，则存在不全为零的数l
1
，l
2
，…，l
n－r
，使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n－r
ξ
n－r
=0， 即l
1
(η
2
一η
1
)+l
2
(η
3
一η
1
)+…+l
n－r
(η
n－r＋1
一η
1
)=0， 也即一(l
1
+l
2
+…+l
n－r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n－r
η
n－r＋1
=0。 由η
1
，η
2
，…，η
n－r＋1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n－r
)=l
1
=l
2
=…=l
n－r
=0， 这与l
1
，l
2
，…，l
n－r
不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
线性无关，是Ax=0的基础解系。 由于x，η
1
均为Ax=b的解，所以x一η
1
为Ax=0的解，因此x一η
1
可由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
线性表示，设 x一η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n－r＋1
ξ
n－r
=k
2
(η
2
一η
1
)+k
3
(η
3
一η
1
)+…+k
n－r＋1
(η
n－r＋1
一η
1
)， 则x=η
1
(1一k
2
一k
3
一…一k
n－r＋1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n－r＋1
η
n－r＋1
， 令k
1
=1一k
2
一k
3
一…一k
n－r＋1
，则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n－r＋1
=1，从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n－r＋1
恒成立。
【答案解析】