问答题
试讨论方程xe
-x
=a(a＞0)的实根．
【正确答案】
【答案解析】[解]令F(x)=xe
-x
-a，则方程xe
x
=a的实根的个数相当于F(x)的零点的个数．为此研究F(x)的单调性及极值(或最值)．
令F"(x)=(1-x)e -x =0
x=1，见下表．
因为x=1是F(x)唯一的驻点，F(1)=e
-1
-a为(-∞，+∞)上的极大值，因此也是最大值，以下就F(1)=e
-1
-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点．
①若F(1)=e -1 -a＜0，即(1，e -1 -a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点．
②若F(1)=e -1 -a=0，即(1，e -1 -a)位于x轴上，由表所示F(x)与x轴除(1，e -1 -a)点外再不会相交，因此f(x)只有唯一的零点．
③若F(1)=e -1 -a＞0，即(1，e -1 -a)位于x轴的上方，由表可知f(x)在(-∞，1)内“↗”，且
可知F(x)在(-∞，1)内有且仅有唯一的零点；而F(x)在(1，+∞)内“↘”，且
令F"(x)=(1-x)e -x =0
x=1，见下表．
| (-∞，1) | 1 | (1，+∞) | |||||||||||||||||||||||||
| F"(x) | + | - | |||||||||||||||||||||||||
| F(x) | ↗ | (e -1 -a)极大值 | ↘ | ||||||||||||||||||||||||
①若F(1)=e -1 -a＜0，即(1，e -1 -a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点．
②若F(1)=e -1 -a=0，即(1，e -1 -a)位于x轴上，由表所示F(x)与x轴除(1，e -1 -a)点外再不会相交，因此f(x)只有唯一的零点．
③若F(1)=e -1 -a＞0，即(1，e -1 -a)位于x轴的上方，由表可知f(x)在(-∞，1)内“↗”，且
可知F(x)在(-∞，1)内有且仅有唯一的零点；而F(x)在(1，+∞)内“↘”，且