问答题
某保健药品生产企业生产一种专为白领阶层设计的提高身体免疫能力的保健药品，其 2002～2007年的广告费支出和销售量的统计资料见表5-2。公司管理层预计2008年对该产品的广告费用投入将提高到150万元，详见表5-2所列。
{{B}}表5-2 某企业2002～2007年的广告费支出和销售量{{/B}}
【问题】1．求解回归模型。
2．进行相关系数检验、t检验(α=0.05)；
己知：R(0.05,4)=0.811；t(0.025,4)=2.776 4。
3．预测2008年销售量及预测区间(α=0.05)，并解释说明该指标计算值的含义。
{{B}}表5-2 某企业2002～2007年的广告费支出和销售量{{/B}}
|
年份 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
|
广告费支出/万元 |
10 |
20 |
360 |
80 |
100 |
120 |
|
销量/万盒 |
5 |
8 |
10 |
12 |
15 |
19 |
【问题】1．求解回归模型。
2．进行相关系数检验、t检验(α=0.05)；
己知：R(0.05,4)=0.811；t(0.025,4)=2.776 4。
3．预测2008年销售量及预测区间(α=0.05)，并解释说明该指标计算值的含义。
【正确答案】
【答案解析】1．建立一元线性回归模型。
根据已知数据可以判断保健品产品的销量随着广告投入的变化而变化，因此我们选择广告投入为自变量x，产品销量为因变量y，建立下列线性模型：y=a+bx。
利用最小二乘法求得回归系数：
2．回归检验。
(1)相关系数检验：
解得相关系数R=0.973
因R=0.973＞R(a,n-2)=R(0.05,4)=0.811，变量x和y之间的线性关系成立；
(2)t检验：
解得：tb=8.431
因tb=8.431＞t(a/2,n-2)=t(0.025,4)=2.7764，参数的t检验通过，说明变量x和y之间线性假设合理。
3．预测2008年的销售量及区间预测。
根据公司管理层的预计，2008年对该产品的广告费用投入将提高到150万元，所以2008年该产品的销售量Y(2008)=a+bx(2008)=4.22+0.112×150=21.02万盒
区间预测：
于是，在α=0.05的显著性检验水平上，2008年该保健品需求量的置信区间为：
±(α/2，n-2)S0=21.02±2.776
4×1.8=21.02±4.998
即在(16.022，26.018)的区间内。说明该保健品2008年的需求量处于16.022万盒到26.018万盒的概率是95%。
根据已知数据可以判断保健品产品的销量随着广告投入的变化而变化，因此我们选择广告投入为自变量x，产品销量为因变量y，建立下列线性模型：y=a+bx。
利用最小二乘法求得回归系数：
2．回归检验。
(1)相关系数检验：
解得相关系数R=0.973
因R=0.973＞R(a,n-2)=R(0.05,4)=0.811，变量x和y之间的线性关系成立；
(2)t检验：
解得：tb=8.431
因tb=8.431＞t(a/2,n-2)=t(0.025,4)=2.7764，参数的t检验通过，说明变量x和y之间线性假设合理。
3．预测2008年的销售量及区间预测。
根据公司管理层的预计，2008年对该产品的广告费用投入将提高到150万元，所以2008年该产品的销售量Y(2008)=a+bx(2008)=4.22+0.112×150=21.02万盒
区间预测：
于是，在α=0.05的显著性检验水平上，2008年该保健品需求量的置信区间为：
±(α/2，n-2)S0=21.02±2.776
4×1.8=21.02±4.998即在(16.022，26.018)的区间内。说明该保健品2008年的需求量处于16.022万盒到26.018万盒的概率是95%。