解答题
18.已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1＋α2＋α3仍是A的特征向量，则λ1＝λ2＝λ3．
【正确答案】若α1＋α2＋α3是矩阵A属于特征值A的特征向量，即
A(α1＋α2＋α3)＝λ(α1＋α2＋α3)．
又A(α1＋α2＋α3)＝Aα1＋Aα2＋Aα3＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3，于是
(λ－λ1)α1＋(λ－λ2)α2＋(λ－λ3)α3＝0．
因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1＝0，λ－λ2＝0，λ－λ3＝0．
即λ1＝λ2＝λ3．
【答案解析】