解答题
17.设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f"(ξ)=一4．
【正确答案】按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式，得
这样一来，若f"(ξ1)=f"(ξ2)，则f"(ξ)=f"(ξ2)=一4．从而这时ξ可取为ξ1或ξ2．若f"(ξ1)≠f"(ξ2)，这时
[f"(ξ1)+f"(ξ2)]=一4就是f"(ξ1)与f"(ξ2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1，ξ2)
这样一来，若f"(ξ1)=f"(ξ2)，则f"(ξ)=f"(ξ2)=一4．从而这时ξ可取为ξ1或ξ2．若f"(ξ1)≠f"(ξ2)，这时
[f"(ξ1)+f"(ξ2)]=一4就是f"(ξ1)与f"(ξ2)的一个中间值，按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ1，ξ2)【答案解析】