解答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ξ)=1．
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ξ)=1．
【正确答案】
【答案解析】证：(Ⅰ)令g(x)=f(x)+x-1，则g(x)在[0，1]上连续，且g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0，由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)+ξ-1=0，从而有f(ξ)=1-ξ．
(Ⅱ)因f(x)在[0，ξ]，[ξ，1]上连续，在(0，ξ)，(ξ，1)上可导，f(x)在[0，ξ]和[ξ，1]上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)，ξ∈(ξ，1)，使得
则
(Ⅱ)因f(x)在[0，ξ]，[ξ，1]上连续，在(0，ξ)，(ξ，1)上可导，f(x)在[0，ξ]和[ξ，1]上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)，ξ∈(ξ，1)，使得
则