解答题设

为矩阵

问答题求常数a，b的值及ξ₁所对应的特征值；

【正确答案】解：根据特征值、特征向量的定义，有Aξ1=λξ1，即，于是有解得a=1，b=1，λ=3，则

【答案解析】

问答题矩阵A可否相似对角化?若A可对角化，对A进行相似对角化；若A不可对角化，说明理由．

【正确答案】解：由|λE-A|=0，得λ1=λ2=2，λ3=3．因为r(2E-A)=2，所以A不可对角化．

【答案解析】

问答题设矩阵

【正确答案】解：由得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于．进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为令P=(η1，η2，η3)，则有又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为令Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，则因此P-1AP=Q-1BQ，所以B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)，令即为所求．

【答案解析】[考点] 矩阵相似的判别．将A，B分别相似对角化，与同一个对角阵相似，再根据相似的传递性，得到A，B相似．

问答题求常数a，使极限

【正确答案】解：因为所以因为极限存在，所以cosa=3cosa．即cosa=0，n为整数，且极限为0．

【答案解析】

问答题设

，求

【正确答案】解：是一个瑕积分，用分部积分法．

【答案解析】

问答题设y₁=x，y₂=x+e^2x，y₃=x(1+e^2x)是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．

【正确答案】解：设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y'+a1y'+a2y=f(x)， (*) 对应的齐次方程为 y'+a1y'+a2y=0， (**) 由非齐次方程与齐次方程解的关系，可知y2-y1=e2x，y3-y1=xe2x是方程(**)的解，又因为(常数)．故方程(**)的通解为y(x)=C1e2x+C2xe2x=(C1+C2x)e2x．由线性微分方程解的结构，非齐次方程通解为y=(C1+C2x)e2x+x．由齐次方程(**)通解的形式可知，λ=2为特征方程λ2+a1λ+a2=0的二重根．由根与系数关系可得a1=-4，a2=4．于是方程(*)为y'-4y'+4y=f(x)．因为y1=x为其解，将其代入得x'-4x'+4x=f(x)，则f(x)=4(x-1)．故所求方程为y'-4y'+4y=4(x-1)．

【答案解析】[考点] 二阶常系数线性微分方程解的结构．由二阶线性非齐次微分方程与其对应的齐次微分方程的解之间的关系，先求出微分方程的通解，再由通解形式求出微分方程．

问答题 yOz平面上的曲线

【正确答案】解：由于Ω及点密度关于旋转轴(z轴)对称，所以质心在z轴上，质心坐标为，其中对用柱面坐标，先r，θ后z，于是类似地，所以质心坐标为

【答案解析】

问答题设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x，y的函数，求

【正确答案】解：确定y，t为x的一元函数．两个方程的两边分别对x求偏导，得

【答案解析】