问答题设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明：在(a，b)内存在两点ξ，η，使得(e^2a+e^a+b+e^2b)[f(ξ)+f'(ξ)]=3e^3η-ξ．

【正确答案】[证] 对函数g(x)=e^xf(x)在区间[a，b]上使用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得对函数g(x)=e^3x在区问[a，b]上使用拉格朗日中值定理，存在η∈(a，b)，使得计算②与①两端的比值可得：(e^2a+e^a+b+e^2b)[f(ξ)+f'(ξ)]=3e^3η-ξ．

【答案解析】[解析] 欲汪结论为(a，b)内存在ξ，η满足某个等式的命题．其证明思路是：用两次拉格朗日中值定理，或一次拉格朗日、一次柯西中值定理，或足两次柯西中值定理，分别得到关于ξ、η的两个等式．然后再将所得等式作某种运算．