解答题
17.设f(u，v)具有连续偏导数，且f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
【正确答案】由y(x)=e—2xf(x，x)，有
y'(x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]，
由已知条件f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v，令u=x，v=x，得f'1(x，x)+f'2(x，x)=sin(2x)e2x，于是y(x)满足一阶线性微分方程
y'(x)+2y(x)=sin2x。
通解为y(x)=e—2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e2xdx=
y'(x)=一2e—2xf(x，x)+e—2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]，
由已知条件f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v，令u=x，v=x，得f'1(x，x)+f'2(x，x)=sin(2x)e2x，于是y(x)满足一阶线性微分方程
y'(x)+2y(x)=sin2x。
通解为y(x)=e—2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e2xdx=
【答案解析】