解答题
18.
设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P
T
AP为正定矩阵．
【正确答案】
首先A
T
＝A，因为(P
T
AP)
T
＝P
T
A
T
(P
T
)
T
＝P
T
AP，所以P
T
AP为对称矩阵，对任意的X≠0，X
T
(P
T
AP)X＝(PX)
T
A(PX)，令PX＝α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以α
T
Aα＞0，即X
T
(P
T
AP)X＞0，故X
T
(P
T
AP)X为正定二次型，于是P
T
AP为正定矩阵．
【答案解析】
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