问答题
设矩阵
问答题
求a的值；
【正确答案】A的特征值为6，6，-2，故由A可相似对角化知矩阵6E-A=[*]的秩为1，[*]a=0
【答案解析】
问答题
求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
【正确答案】f=xTAx=(xTAx)T=xTATx=[*]故f的矩阵为[*]=[*]，计算可得B的特征值为λ1=6，λ2=-3，λ3=7，对应的特征向量分别可取为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，-1，0)T，ξ3=(1，1，0)T，故有正交矩阵
[*]
便得P-1BP=PTBP=diag(6，-3，7)，所以，在正交变换(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T下，可化f成标准形[*]．
[*]
便得P-1BP=PTBP=diag(6，-3，7)，所以，在正交变换(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T下，可化f成标准形[*]．
【答案解析】
问答题
设A、B分别为m，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵
【正确答案】证1 取m+n维非零列向量[*]，其中X,Y分别为m、n维向量，故X、Y不全为零，不妨假定X≠0，由条件有XTAX＞0,YTBY≥0，故对Z≠0，有ZTCZ=[*]=XTAX+YTBY＞0，又CT=C。故C正定.
证2 用A、B正定，故有可逆矩阵M、N，使A=MTM，B=NTN，故[*]=[*]，且矩阵[*]可逆，故C为正定矩阵．
证3 由[*]知，C的特征值由A及B的特征值组成，故由A、B的特征值都大于0，知C的特征值全大于0，又CT=C，故C为正定矩阵．
证2 用A、B正定，故有可逆矩阵M、N，使A=MTM，B=NTN，故[*]=[*]，且矩阵[*]可逆，故C为正定矩阵．
证3 由[*]知，C的特征值由A及B的特征值组成，故由A、B的特征值都大于0，知C的特征值全大于0，又CT=C，故C为正定矩阵．
【答案解析】
问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=
(a＞0)经正交变换
(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T
化成了标准形
(a＞0)经正交变换(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T
化成了标准形
【正确答案】a=4，b=-2：[*]．
【答案解析】
问答题
设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
【正确答案】BT=B，对任意n维非零列向量X，有λXTX＞0，(AX)T(AX)≥0，故对X≠0有XTBX=XT(λE+ATA)X=λXTX+(AX)T(AX)＞0，因此，对称阵B正定．
【答案解析】
问答题
设有n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=(x1+a1x1)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型．
【正确答案】1+(-1)n+1a1a2…an≠0．
【答案解析】
问答题
设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．
【正确答案】由bji=bij，知B对称． 证1 若x1，x2，…，xn不全为0，则c1x1，c2x2，…，cnxn不全为零，此时，(x1，x2，…，xn)B(x1，x2，…，xn)T=[*](cixi)(cjxj＞0，故B正定．
证2 令矩阵
C=diag(c1，c2，…，cn)
则B=CTAC，且C可逆，于是对X∈Rn．X≠0，有CX≠0，故XTBX=XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0，知B正定．
证3 同方法2可得B=CTAC，因A正定，有可逆阵M，使A=MTM，故B=CTMTMC=(MC)T(MC)，且MC可逆，故B正定．
证4
[*]
的k阶顺序子式等于[*](k=1，2，…，n)故B正定．
证2 令矩阵
C=diag(c1，c2，…，cn)
则B=CTAC，且C可逆，于是对X∈Rn．X≠0，有CX≠0，故XTBX=XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0，知B正定．
证3 同方法2可得B=CTAC，因A正定，有可逆阵M，使A=MTM，故B=CTMTMC=(MC)T(MC)，且MC可逆，故B正定．
证4
[*]
的k阶顺序子式等于[*](k=1，2，…，n)故B正定．
【答案解析】
问答题
设矩阵An×n正定，证明：存在正定阵B，使A=B2．
【正确答案】因为A正定，故存在正交阵P，使
P-1AP=PTAP=diag(λ1，λ2，…，λn)
且λi＞0(i=1，2，…，n)，故
A=Pdiag(λ1，λ2，…，λn)PT==[*]=B2其中B=[*]为正定阵．
P-1AP=PTAP=diag(λ1，λ2，…，λn)
且λi＞0(i=1，2，…，n)，故
A=Pdiag(λ1，λ2，…，λn)PT==[*]=B2其中B=[*]为正定阵．
【答案解析】
问答题
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记
【正确答案】只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y1，…，yn)T)，使得[*]，由于正交变换不改变向量长度，故有‖Y‖2=‖x‖2=XTX，上式即XTAX≤λnXTX，当X≠0时，XTX＞o，即得[*]，又[*]，于是得maxf(X)=λ.
【答案解析】
问答题
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记
求二元函数f(x，y)=
求二元函数f(x，y)=
【正确答案】[*]，在x=1，y=-1处取到．
【答案解析】
问答题
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记
求三元函数f(x1，x2，x3)=
在
求三元函数f(x1，x2，x3)=
在
【正确答案】f的最小值=[*]=f(0，1，0)=2，f的最大值=[*]
【答案解析】
问答题
设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．
【正确答案】设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX[*](A+B)X=(a+b)X=λX-(a+b)X[*][(A-aE)+(B-bE)X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，[*]λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X1，设A、B的最小特征值分别为λ1和μ1，则有[*].故A+B的特征值全大于a+b．
【答案解析】
问答题
设n阶矩阵A正定，X=(x1，x2，…，xn)T，证明：二次型
【正确答案】由于[*]，两端取行列式，得
[*]
即 [*]
由于A正定，故｜A｜＞0，且A-1正定，故对于任意X≠0，X∈Rn，有XTA-1X＞0．故f(x1，x2，…，xn)=[*]正定．
[*]
即 [*]
由于A正定，故｜A｜＞0，且A-1正定，故对于任意X≠0，X∈Rn，有XTA-1X＞0．故f(x1，x2，…，xn)=[*]正定．
【答案解析】
问答题
设实对称矩阵A满足A2-3A+2E=O，证明：A为正定矩阵．
【正确答案】设λ为A的任一特征值，则存在X≠0，使AX=λX，于是(A2-3A+2E)X=(λ2-3λ+2)X=0，[*]λ2-3λ+2=0[*]λ=1或λ=2，因此A的特征值均大于0，故A正定．
【答案解析】