解答题
9.f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．
【正确答案】由泰勒公式得
两式相减得f″′(ξ)＋f″′(ξ)＝6．
因为f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
两式相减得f″′(ξ)＋f″′(ξ)＝6．
因为f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
【答案解析】