解答题
已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x．
(1)记P=[x，Ax，A2x]，求三阶矩阵B，使A=PBP-1．
(2)计算行列式|A+E|．
(1)记P=[x，Ax，A2x]，求三阶矩阵B，使A=PBP-1．
(2)计算行列式|A+E|．
【正确答案】
【答案解析】[解]方法一： 设
则由AP=PB，得
上式可写成
Ax=a1x+b1Ax+c1A2x ①
A2x=a2x+b2Ax+c2A2x， ②
A3x=a3x+b3Ax+c3A2x， ③
将A3x=3Ax-2A2x代入③式得
3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x， ④
由于x，Ax，A2x线性无关，故
由①式可得a1=c1=0，b1=1；
由②式可得a2=b2=0，c2=1；
由④式可得a3=0，b3=3，c3=-2．
从而
方法二：利用A3x=3Ax-2A2x，有
A[x，Ax，A2x]=[Ax，A2x，A3x]=[Ax，A2x，3Ax-2A2x]
由x，Ax，A2x线性无关知，P可逆，且
方法三：将A3x=3Ax-2A2x改写成A(A2x-Ax)=-3(A2x-Ax)，故λ1=-3为A的特征值，A2x-Ax为属于-3的特征向量．同理可得λ2=1也是A的一个特征值，3Ax+A2x为属于1的特征向量；λ3=0也是A的一个特征值，A2x+2Ax-3x为属于0的特征向量，令
于是
但另一方面，Q为由特征向量组成的矩阵，所以Q-1AQ为由对应的特征值组成的对角矩阵：
所以
(2)由(1)知A与B相似，从而A+E与B+E相似，故
则由AP=PB，得上式可写成
Ax=a1x+b1Ax+c1A2x ①
A2x=a2x+b2Ax+c2A2x， ②
A3x=a3x+b3Ax+c3A2x， ③
将A3x=3Ax-2A2x代入③式得
3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x， ④
由于x，Ax，A2x线性无关，故
由①式可得a1=c1=0，b1=1；
由②式可得a2=b2=0，c2=1；
由④式可得a3=0，b3=3，c3=-2．
从而
方法二：利用A3x=3Ax-2A2x，有
A[x，Ax，A2x]=[Ax，A2x，A3x]=[Ax，A2x，3Ax-2A2x]
由x，Ax，A2x线性无关知，P可逆，且
方法三：将A3x=3Ax-2A2x改写成A(A2x-Ax)=-3(A2x-Ax)，故λ1=-3为A的特征值，A2x-Ax为属于-3的特征向量．同理可得λ2=1也是A的一个特征值，3Ax+A2x为属于1的特征向量；λ3=0也是A的一个特征值，A2x+2Ax-3x为属于0的特征向量，令
于是
但另一方面，Q为由特征向量组成的矩阵，所以Q-1AQ为由对应的特征值组成的对角矩阵：
所以
(2)由(1)知A与B相似，从而A+E与B+E相似，故