(1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫
0
χ
(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．
【正确答案】正确答案：原方程可改写为 f(χ)＝sinχ－χ∫
0
χ
f(t)dt＋∫
0
χ
tf(t)dt 上式两端对χ求导得 f′(χ)＝cosχ＝∫
0
χ
f(t)dt－χf(χ)＋χ(f)χ＝cosχ－∫
0
χ
f(t)dt (*) 两端再对χ求导得f〞(χ)＝－sinχ－f(χ) 即f(χ)＋f(χ)＝－sinχ 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0)＝0，由(*)式知f′(0)＝1． 特征方程为r－1＝0，r＝±i 齐次通解为
＝C
1
sinχ＋C
2
cosχ 设非齐次方程特解为y
*
＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入 f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得 a＝0，b＝
则非齐次方程的通解为 y＝C
1
sinχ＋C
2
cosχ＋
cosχ 由初始条件y(0)＝0和y′(0)＝1可知 C
1
＝
＝C
1
sinχ＋C
2
cosχ 设非齐次方程特解为y
*
＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入 f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得 a＝0，b＝
则非齐次方程的通解为 y＝C
1
sinχ＋C
2
cosχ＋
cosχ 由初始条件y(0)＝0和y′(0)＝1可知 C
1
＝
【答案解析】