解答题
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
证明：
证明：
问答题
β不是A的特征向量；
【正确答案】
【答案解析】[证]已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ,则有
Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，
从而得(μ-λ1)ξ1+(μ-λ2)ξ2+(μ-λ3)ξ3=0．
ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ,则有
Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，
从而得(μ-λ1)ξ1+(μ-λ2)ξ2+(μ-λ3)ξ3=0．
ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．
问答题
向量组β，Aβ，A2β线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[证]法一 用线性无关的定义证．
假设存在数k1，k2，k3，使得 k1β+k2Aβ+k3A2β=0．
由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3，代入得
整理得
因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，则有
又λi(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
故方程组(*)仅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关．
法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
其中
假设存在数k1，k2，k3，使得 k1β+k2Aβ+k3A2β=0．
由β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξi=λiξi，i=1，2，3，代入得
整理得
因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，则有
又λi(i=1，2，3)互不相同，故方程组(*)的系数矩阵的行列式
故方程组(*)仅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关．
法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
其中