问答题
设函数
，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数．求证：
(Ⅰ)F n (x)在(0，+∞)存在唯一零点x n ；
(Ⅱ)
收敛；
(Ⅲ)
，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数．求证：
(Ⅰ)F n (x)在(0，+∞)存在唯一零点x n ；
(Ⅱ)
收敛；
(Ⅲ)
【正确答案】
【答案解析】[分析与证明] (Ⅰ)F
n
(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又
故 F n (x)在
存在零点，记为x
n
，则F
n
(x
n
)=0．又
从而F n (x)在[0，+∞)单调上升，因此F n (x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x n ．
(Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
(Ⅲ) 方法1° 前面已导出
从而对
有
又
方法2° 直接由
同样得
故 F n (x)在
存在零点，记为x
n
，则F
n
(x
n
)=0．又
从而F n (x)在[0，+∞)单调上升，因此F n (x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个x n ．
(Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
(Ⅲ) 方法1° 前面已导出
从而对
有
又
方法2° 直接由
同样得