问答题
求下列微分方程的通解：(Ⅰ) y"一3y'=2—6x； (Ⅱ) y"+y=cosxcos2x．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ
2
—3λ=λ(λ一3)=0，所以通解为
(x)=C
1
+C
2
e
3x
． 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形 式y
*
(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y
*
(x)]"一3[y
*
(x)]'=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x． 比较方程两端的系数，得
，解得A=1，B=0，即特解为y
*
(x)=x
2
．从而，原方程的通解为 y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosxcos2x=
(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y"+y=
cos3x的特解y
1
*
(x)与y
2
*
(x)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosx+C
2
sinx；同时y"+y=
cosx的特解应具有形式：y
1
*
(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=
．即sinx． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=一
，D=0．这样，即得所解方程的通解为 y(x)=
(x)=C
1
+C
2
e
3x
． 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形 式y
*
(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y
*
(x)]"一3[y
*
(x)]'=2A一3(2Ax+B)=一6Ax+2A一3B=2—6x． 比较方程两端的系数，得
，解得A=1，B=0，即特解为y
*
(x)=x
2
．从而，原方程的通解为 y(x)=x
2
+C
1
+C
2
e
3x
，其中C
1
，C
2
为任意常数． (Ⅱ)由于cosxcos2x=
(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y"+y=
cos3x的特解y
1
*
(x)与y
2
*
(x)，相加就是原方程的特解． 由于相应齐次方程的特征方程为λ
2
+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C
1
cosx+C
2
sinx；同时y"+y=
cosx的特解应具有形式：y
1
*
(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=
．即sinx． 另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=一
，D=0．这样，即得所解方程的通解为 y(x)=
【答案解析】