设α
1
=(1，2，0)
T
，α
2
=(1，a+2，-3a)
T
，α
3
=(-1，-b-2．a+2b)
T
．β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时，
(1)β不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示；
(2)β能用α
1
，α
2
，α
3
唯一地线性表示，求表示式；
(3)β能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．
【正确答案】正确答案：记A=(α
1
，α
2
，α
3
)，则问题化归线性方程组AX=β解的情形的讨论及求解问题了．
(1)a=0(b任意)时
方程组AX=β无解，β不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示． (2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)=r(A)=3，方程组AX=β唯一解，即β可用α
1
，α
2
，α
3
唯一表示．
AX=β的解为
(3)当a=b≠0时r(A｜β)=r(A)=2，AX=β有无穷多解，即β可用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，且表示式不唯一．
AX=β有特解
，而(0，1，1)
T
构成AX=0的基础解系，AX=β的通解为
+c(0，1，1)
T
，c任意， 即β=
(1)a=0(b任意)时
方程组AX=β无解，β不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示． (2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)=r(A)=3，方程组AX=β唯一解，即β可用α
1
，α
2
，α
3
唯一表示．
AX=β的解为
(3)当a=b≠0时r(A｜β)=r(A)=2，AX=β有无穷多解，即β可用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，且表示式不唯一．
AX=β有特解
，而(0，1，1)
T
构成AX=0的基础解系，AX=β的通解为
+c(0，1，1)
T
，c任意， 即β=
【答案解析】