【正确答案】正确答案：(1)A
2
=(I一ξξ
T
)(I一ξξ
T
)=I一2ξξ
T
+ξξ
T
ξξ
T
=I一2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ
T
=I一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
A
2
=A即I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一ξξ
T
，亦即 (ξ
T
ξ一1)ξξ
T
=O 因为ξ是非零列向量，有ξξ
T
≠0 故A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ一1=0，即ξ
T
ξ=1． (2)用反证法．当ξ
T
ξ=1时A
2
=A，若A可逆，则有 A
—1
A
2
=A
—1
A 即A=I，这与已知的A=I一ξξ
T
≠I矛盾，故A是不可逆矩阵．
【答案解析】解析：本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律，用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律．要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵．这里ξ
T
ξ是一个1阶方阵，即一个数，因此可把它从矩阵乘积中提出来，这是本题化简推证的关键．本题(2)考察可逆矩阵的概念，条件为ξ
T
ξ=1，自然应该联想并应用(1)的结论，并利用反证法(最易)，因为当假定A可逆时，就可以用A
—1
进行运算．