设
【正确答案】正确答案：当x＜0时，f(x)=∫sin2xdx=
cos2x+C
1
； 当x＞0时，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一
dx =xln(2x+1)一∫dx+
=xln(2x+1)一x+
ln(2x+1)+C
2
， 为了保证F(x)在x=0点连续，必须C
2
=－
+C
1
(*) 特别，若取C
1
=0，C
2
=
就是f(x)的一个原函数． 若C
1
任意取值，C
2
满足(*)，即
cos2x+C
1
； 当x＞0时，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一
dx =xln(2x+1)一∫dx+
=xln(2x+1)一x+
ln(2x+1)+C
2
， 为了保证F(x)在x=0点连续，必须C
2
=－
+C
1
(*) 特别，若取C
1
=0，C
2
=
就是f(x)的一个原函数． 若C
1
任意取值，C
2
满足(*)，即
【答案解析】解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F′(x)=f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数粘合在一起，构成一个整体的原函数．