【正确答案】 A

【答案解析】[考点] 本题考查分段函数的可导性，需在分段点处分别讨论左、右导数。
[解析] 充分性： 因为f(0)=0，所以

即F(x)在x=0处可导。
必要性： 设F(x)=|f(x)(1+|sinx|)在x=0处可导。因f(x)可导，所以f(x)|sinx|在x=0处可导，由此可知