问答题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y"(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
-S
2
恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
【正确答案】
【答案解析】解 曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为
Y-y=y"(x)(X-x)．
它与x轴的交点为
．由于y"(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是
又
由条件2S 1 -S 2 =1知
①
两边对x求导并化简得
yy"=(y") 2 ．
令p=y"，则上述方程可化为
从而
解得p=C 1 y，即
Y-y=y"(x)(X-x)．
它与x轴的交点为
．由于y"(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是
又
由条件2S 1 -S 2 =1知
①
两边对x求导并化简得
yy"=(y") 2 ．
令p=y"，则上述方程可化为
从而
解得p=C 1 y，即