设函数f(x)在[0,π]上连续,且f(x)sinxdx=0,
【正确答案】正确答案:反证法.如果f(x)在(0,π)内无零点(或有一个零点,但f(x)不变号,证法相同),即f(x)>0(或<0),由于在(0,π)内,亦有sinx>0,因此,必有f(x)sinxdx>0(或<0).这与假设相矛盾. 如果f(x)在(0,π)内有一个零点,而且改变一次符号,设其零点为a∈(0,π),于是在(0,a)与(a,π)内f(x)sin(x-a)同号,因此f(x)sin(x-a)dx≠0.但是,另一方面f(x)sin(x-a)dx=f(x)(sinxcosa-cosxsina)dx =cosa
【答案解析】