【正确答案】 考虑到g(x)=kx³为x的三阶无穷小，可将f(x)展为三阶无穷小，求其待定常数，即将ln(1+x)及sinx分别展为
ln(1+x)=x一+o(x³)，即x—ln(1+x)一(x→0)；
sinx=x－+0(x³)， 即x—sinx～(x→0)．
将转化为求x→0时有理多项式的极限．
解一 将ln(1+x)及sinx的上述麦克劳林级数展开式代入f(x)得到
f(x)=x+a[x一+o(x³)]+bx[x一+o(x³)]
=x+ax一+a·o(x³)+bx²一+b·o(x⁴)
=x+ax一+a·o(x³)+bx²
=(1+a)x+(b一)x²++o(x³)．
由=1，得到
1+a=0， b一=0．=1．
解之即得 a=—1．b=—．k=—
解二 也可直接利用下述等价无穷小：
x一ln(1+x)一(x→0)或ln(1+x)一x+(x→0)，
x－sinx～(x－0)求之．为此将f(x)恒等变形为
f(x)一x+a[1n(1+x)一x+]－bx[x－sinx－x]
则
故=1， l+a=0， b一=0．
即 a=一1.