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7.  边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量，如微扰哈密顿量，试求对能量的一级修正(式中b为常量)
  
解：刚性立方势箱的能级及波函数为：
   
   当nx+ny+nz=1，基态：
   
   当时，可选：
   nx=ny=1，nz=2；ψ112=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(2πz/a)
   nx=nz=1，ny=2；ψ121=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(2πy/a)sin(πz/a)
   ny=nz=1，nx=2；ψ211=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(πz/a)
   简并度为3，第一激发态：
   
   从已知条件知，电子处于第一激发态，3重简并，利用简并态微扰论求解问题．取：，计算H'在张开的3×3空间中矩阵元．
   由于波函数与微扰算符都是实的，所以微扰矩阵为实矩阵，并且关于对角元对称．另外考虑到，与z分量无关，由波函数之间的正交性条件可得：
   
   由波函数在微扰下的对称性知
   
   
   解的本征值，由可得能量的一级修正为
 
8.  在无限深立方势阱(立方边长为a)中(a/4，a/2，3a/4)处施加微扰作用
   
    求基态和第一激发态的能级一级修正．
  
解：基态
   由上题知基态波函数为
   ，能级无简并利用能级一级修正计算公式可得
   
   (2)第一激发态
   由上题知，第一激发态三重简并，采用上题中的波函数编号方式，计算子空间的矩阵元
   
   所以有
   
   设本征值为4V0λ，解久期方程
   
问答题 7.  边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量，如微扰哈密顿量
【正确答案】解：刚性立方势箱的能级及波函数为：
   
   当nx+ny+nz=1，基态：
   
   当时，可选：
   nx=ny=1，nz=2；ψ112=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(2πz/a)
   nx=nz=1，ny=2；ψ121=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(2πy/a)sin(πz/a)
   ny=nz=1，nx=2；ψ211=(2/a)3/2sin(πx/a)sin(πy/a)sin(πz/a)
   简并度为3，第一激发态：
   
   从已知条件知，电子处于第一激发态，3重简并，利用简并态微扰论求解问题．取：，计算H'在张开的3×3空间中矩阵元．
   由于波函数与微扰算符都是实的，所以微扰矩阵为实矩阵，并且关于对角元对称．另外考虑到，与z分量无关，由波函数之间的正交性条件可得：
   
   由波函数在微扰下的对称性知
   
   
   解的本征值，由可得能量的一级修正为
【答案解析】
问答题 8.  在无限深立方势阱(立方边长为a)中(a/4，a/2，3a/4)处施加微扰作用
   
【正确答案】解：基态
   由上题知基态波函数为
   ，能级无简并利用能级一级修正计算公式可得
   
   (2)第一激发态
   由上题知，第一激发态三重简并，采用上题中的波函数编号方式，计算子空间的矩阵元
   
   所以有
   
   设本征值为4V0λ，解久期方程
   
【答案解析】