【答案解析】[证] 由A ² =A，可知A的特征值为0或1，对应于0、1的线性无关的特征向量的个数
分别为n-r(0·E-A)与n-r(1·E-A)．
又由于A ² -A=0，即A(A-E)=0，则r(A)+r(A-E)≤n，于是A的线性无关的
特征向量的总个数为
n-r(0·E-A)+n-r(1·E-A)=2n-[r(-A)+r(E-A)]≥2n-n=n，
故A有n个线性无关的特征向量，则A可相似对角化．
同理，B的特征值为0或1，可相似对角化，且由题设，r(A)=r(B)，可知A、B有完全相同的特征值，即A、B相似于同一对角阵．故A、B必相似．