【正确答案】解1 由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以
[*]
因为Aα₁=0，Aα₂=0，即
Aα₁=0α₁，Aα₂=0α₂
故由定义知λ₁=λ₂=0是A的二重特征值，α₁，α₂为A的属于特征值O的两个线性无关特征向量；λ₃=3是A的一个特征值，α₃=(1，1，1)^T为A的属于特征值3的特征向量．
总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值O的全体特征向量为k₁α₁+k₂α₂(k₁，k₂不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k₃α₃(k₃≠0)．

【正确答案】解1 对α₁，α₂正交化．令ξ₁=α₁=(-1，2，-1)_T
[*]
再分别将ξ₁，ξ₂，α₃单位化，得
[*]
令[*]
那么Q为正交矩阵，且Q^TAQ=A．
△解2 由于A只有一个重特征值λ₁=λ₂=0，故要求A的3个两两正交的特征向量，只须求出A的属于二重特征值0的两个相互正交的特征向量即可．由于
ξ₂=α₁+2α₂=(-1，2，-1)^T+2(0，-1，1)^T=(-1，0，1)^T也是A的属于特征值O的特征向量，且α₁⊥ξ₂，故
ξ₁=α₁=(-1，2，-1)^T， ξ₂=(-1，0，1)^T， ξ₃=α₃=(1，1，1)^T
就是A的3个两两正交的特征向量(分别属于特征值0，0，3)，再将它们单位化，即令[*](j=l，2，3)，则所求的正交矩阵Q可取为Q=[e₁ e₂ e₃]，且有Q^TAQ=diag(0，0，3)，以下具体求解同解1．
△解3 由实对称矩阵的性质，知A的属于特征值λ₁=λ₂=0的特征向量ξ=(x₁，x₂，x₃)^T与属于特征值λ₃=1的特征向量α₃=(1，1，1)^T正交，即
x₁+x₂+x₃=0
求解此齐次方程，得其基础解系——即属于λ₁=λ₂=0的两个线性无关特征向量为
ξ₁=(-1，1，0)^T， ξ₁=(1，1，-2)^T
ξ₁与ξ₂已经正交，故ξ₁，ξ₂，α₃为A的3个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为
[*]
且使Q^TAQ=diag(0，0，3)．

【答案解析】本题综合考查特征值与特征向量的概念、性质，实对称矩阵正交相似对角化的方法及施密特正交化方法等．当方阵A的各行元素之和都是常数λ时，则λ为A的一个特征值且ξ=(1，1，…，1)^T为对应的一个特征向量，本题(Ⅱ)的解2，利用了属于同一特征值的若干个特征向量的线性组合，若它不是零向量，则这个线性组合也是属于这个特征值的特征向量的性质．