解答题设随机变量X服从区间(0，2)上的均匀分布，Y服从区间(X，2)上的均匀分布，试求：

问答题 X和Y的联合密度；

【正确答案】解：由已知得X的概率密度为 Y关于X的条件密度为故X和Y联合概率密度为

【答案解析】

问答题 Y的概率密度；

【正确答案】解：Y的概率密度为

【答案解析】

问答题概率P(X+Y＞2)．

【正确答案】解：如下图所示，由联合密度函数知

【答案解析】

问答题

【正确答案】解：由B=ATA，知BT=AT(AT)T=ATA=B，即B为实对称矩阵．当s＞n时，rA≤min{s，n}=n．故Ax=0有非零解，不妨取其中一个解记为α，α≠0，且Aα=0，于是αTBα=αTATAα=0，从而B不是正定矩阵．当s=n时，|A|为范德蒙德行列式，于是知A为可逆矩阵，于是B=ATA是正定矩阵．当s＜n时，rA．≤min{s，n}=s．经观察矩阵A可知，A的s阶顺序主子式恰为s阶范德蒙德行列式，将A的这个s阶顺序主子式记为|As×s|，则|As×s|=(aj-ai)≠0，故rA≥s．因此，rA=s．故Ax=0只有零解，从而任给s维向量α≠0，均有Aα≠0，于是αTBα=αTATAα=(Aα)TAα=故B是正定矩阵．综上所述，当s≤n时，B是正定矩阵．

【答案解析】

问答题已知三角形周长为2p，试求此三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体体积的最大值．

【正确答案】解：设三角形的三边分别为x，y，z(如图所示)，不妨设它绕AC边旋转，AC边上的高为h，面积为5，于是则旋转体体积为其中x+y+z=2p．为简便即求u=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny在条件x+y+z=2p之下的驻点．令F(x，y，z)=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny+λ(x+y+z-2p) 解方程组解这类方程组通常是将含λ的项移到等式的右边，然后两式相除，消去λ，得两变量之间的关系式．由 ①'÷②'得：p(p-x)=y(p-y)， ⑤ ①'÷③'得：x=z． ⑥ 再将④，⑤，⑥联立，解之得为驻点．故V的最大值为

【答案解析】