解答题
9.已知曲线L的方程
【正确答案】(1)因为
故曲线L当f≥0时是凸的．
(2)由(1)知，切线方程为y－0＝
(x＋1)，设x0＝t02＋1，y0＝4t0－t02，则(fi＋2)，即4t0—t02＝
(2－t0)(t02＋2)，整理得t02＋t0－2＝0→(t0－1)(t0＋2)＝0→t0＝1，t0＝－2(舍去)．将t0＝1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为
y－3＝
(x－2)，即y＝x＋1．
(3)由题设可知，所水平面图形如图1—2—1所示，其中各点坐标为A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(－1，0)，
设L的方程x＝g(y)，则S＝∫03[g(y)－(y－1)]dy
由参数方程可得
由于C(2，3)在L上，则x＝g(y)＝
于是
故曲线L当f≥0时是凸的．
(2)由(1)知，切线方程为y－0＝
(x＋1)，设x0＝t02＋1，y0＝4t0－t02，则(fi＋2)，即4t0—t02＝(2－t0)(t02＋2)，整理得t02＋t0－2＝0→(t0－1)(t0＋2)＝0→t0＝1，t0＝－2(舍去)．将t0＝1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为y－3＝
(x－2)，即y＝x＋1．(3)由题设可知，所水平面图形如图1—2—1所示，其中各点坐标为A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(－1，0)，
设L的方程x＝g(y)，则S＝∫03[g(y)－(y－1)]dy
由参数方程可得
由于C(2，3)在L上，则x＝g(y)＝
于是【答案解析】[分析] (1)利用曲线凹凸的定义来判定；(2)先写出切线方程，然后利用(－1，0)在切线上；(3)利用定积分计算平面图形的面积．
[评注] 本题为基本题型，第(3)问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解．
[评注] 本题为基本题型，第(3)问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解．