【正确答案】正确答案：设一组数k
0
，k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
0
β+k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， 左乘系数矩阵A，由于α
i
(i=1，2，3)为方程组Ax=0的解，有Aα
i
=0(i=1，2，3)，β 不是方程组Ax=0的解，有Aβ≠0，于是有 k
0
Aβ+k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+k
3
Aα
3
=k
0
Aβ=0， 得k
0
=0，从而有 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， 又因为α
1
，α
2
，α
3
为Ax=0的基础解系，必线性无关，必有k
1
=k
2
=k
3
=0． 综上讨论，向量组β，α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【答案解析】解析：此题线性相关性的讨论涉及方程组解的性质．一般而言，如果α
1
，α
2
，…，α
n－r
是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，β是非齐次方程组Ax=b的一个特解，则利用本题方法可以证明向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
n－r
必线性无关．结果表明，若n元非齐次方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r(＜n)，则方程组Ax=b共有n－r+1个无关解向量．