问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f"
+
(a)f"
-
(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】
【答案解析】不失一般性，设f"
+
(a)＞0，f"
-
(b)＞0．
由f" + (a)＞0知，存在x 1 ∈(a，b)，使得f(x 1 )＞f(a)=0；
由f" - (b)＞0知，存在x 2 ∈(a，b)，使得f(x 2 )＜f(b)=0；
因为f(x 1 )f(x 2 )＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．
令
，显然h(x)在[a，b]上连续，有h(a)=h(c)=h(b)=0．
存在ξ 1 ∈(a，c)，ξ 2 ∈(c，b)，使得h"(ξ 1 )=h"(ξ 2 )=0．
而
，所以
令φ(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，则φ(ξ 1 )=φ(ξ 2 )=0．
由罗尔定理，存在
，使得φ"(ξ)=0，而
φ"(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，
所以
由f" + (a)＞0知，存在x 1 ∈(a，b)，使得f(x 1 )＞f(a)=0；
由f" - (b)＞0知，存在x 2 ∈(a，b)，使得f(x 2 )＜f(b)=0；
因为f(x 1 )f(x 2 )＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．
令
，显然h(x)在[a，b]上连续，有h(a)=h(c)=h(b)=0．
存在ξ 1 ∈(a，c)，ξ 2 ∈(c，b)，使得h"(ξ 1 )=h"(ξ 2 )=0．
而
，所以
令φ(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，则φ(ξ 1 )=φ(ξ 2 )=0．
由罗尔定理，存在
，使得φ"(ξ)=0，而
φ"(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，
所以