解答题
设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n-1)，f(n)(x0)≠O(n≥2)，证明：
(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值；
(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．
(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值；
(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．
【正确答案】
【答案解析】[证] n为偶数，令n=2k，构造极限
(1)当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性
存在x0的某个去心邻域
，对于任一的
，有
，故x0为极大值点．
(2)当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性
存在x0的某个去心邻域
，对于任一的
，有
(1)当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性
存在x0的某个去心邻域，对于任一的，有，故x0为极大值点．(2)当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性
存在x0的某个去心邻域，对于任一的，有