设总体X
i
服从正态分布N(μ
i
，σ
i
2
)，
与S
i
2
分别是取自总体X
i
的样本均值与样本方差，i＝1，2，且X
1
与X
2
相互独立．
(Ⅰ)求证
，S
1
2
，
，S
2
2
相互独立；
(Ⅱ)如果μ
1
＝μ
2
μ，令α
i
＝
，i＝1，2，求统计量Y＝
与S
i
2
分别是取自总体X
i
的样本均值与样本方差，i＝1，2，且X
1
与X
2
相互独立．
(Ⅰ)求证
，S
1
2
，
，S
2
2
相互独立；
(Ⅱ)如果μ
1
＝μ
2
μ，令α
i
＝
，i＝1，2，求统计量Y＝
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由于(
，S
1
2
)与(
，S
2
2
)分别取自两个相互独立的正态总体样本，所以它们相互独立，又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立，所以
与S
1
2
相互独立，
与S
2
2
也相互独立．对于任意实数a，b，c，d有 P{
≤a，S
1
2
≤b，
≤c，S
2
2
≤d}＝P{
≤a，S
1
2
≤b}P{
≤c，S
2
2
≤d} ＝P{
≤a}P{S
1
2
≤b}P{
≤c}P{S
2
2
≤d}， 于是
，S
1
2
，
，S
2
2
相互独立． (Ⅱ)从(Ⅰ)可知α
i
与
相互独立，i＝1，2，依题意α
1
＋α
2
＝1，从而 EY＝
，S
1
2
)与(
，S
2
2
)分别取自两个相互独立的正态总体样本，所以它们相互独立，又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立，所以
与S
1
2
相互独立，
与S
2
2
也相互独立．对于任意实数a，b，c，d有 P{
≤a，S
1
2
≤b，
≤c，S
2
2
≤d}＝P{
≤a，S
1
2
≤b}P{
≤c，S
2
2
≤d} ＝P{
≤a}P{S
1
2
≤b}P{
≤c}P{S
2
2
≤d}， 于是
，S
1
2
，
，S
2
2
相互独立． (Ⅱ)从(Ⅰ)可知α
i
与
相互独立，i＝1，2，依题意α
1
＋α
2
＝1，从而 EY＝
【答案解析】