设f(x)在[a，b]上二阶可导且f
''
(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
【正确答案】正确答案：对任意的x
1
，x
2
∈(a，b)且x
1
≠x
2
，取x
0
=
，由泰勒公式得f(x)=f(x
0
)+f
'
(x
0
)(x—x
0
)+
(x—x
0
)
2
，其中ξ介于x
0
与x之间． 因为f
''
(x)＞0，所以f(x)≥f(x
0
)+f
'
(x
0
)(x—x
0
)，“=”成立当且仅当“x=x
0
”， 从而
两式相加得f(x
0
)＜
，由泰勒公式得f(x)=f(x
0
)+f
'
(x
0
)(x—x
0
)+
(x—x
0
)
2
，其中ξ介于x
0
与x之间． 因为f
''
(x)＞0，所以f(x)≥f(x
0
)+f
'
(x
0
)(x—x
0
)，“=”成立当且仅当“x=x
0
”， 从而
两式相加得f(x
0
)＜
【答案解析】