问答题
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．
(1) 证明α1，α2，α3线性无关；
(2) 令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．
(1) 证明α1，α2，α3线性无关；
(2) 令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．
【正确答案】(1) 假设口α1，α2，α3线性相关，则α3可由α1，α2线性表出，可设α3=k1α1+k2α2，其中k1，k2不全为0，否则由等式Aα3=α2+α3得到α2=0，不符合题设．
因为α1，α2为矩阵A的分别属于特征值-1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，且有Aα1=-α1，Aα2=α2，则
Aα3=A(k1α1+k2α2)=-k1α1+k2α2=α2+k1α1+k2α2．又α1，α2相互独立，等式中α1，α2的对应系数相等，即：
显然此方程组无解．故假设不成立，从而可知α1，α2，α3线性无关．
(2) 因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=(α1，α2，α3)可逆．由于
等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1，可得
因为α1，α2为矩阵A的分别属于特征值-1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，且有Aα1=-α1，Aα2=α2，则
Aα3=A(k1α1+k2α2)=-k1α1+k2α2=α2+k1α1+k2α2．又α1，α2相互独立，等式中α1，α2的对应系数相等，即：
显然此方程组无解．故假设不成立，从而可知α1，α2，α3线性无关．
(2) 因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=(α1，α2，α3)可逆．由于
等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P-1，可得
【答案解析】[考点提示] 向量的线性相关性和矩阵的特征值与特征向量．