已知矩阵A=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设λ是A的特征值，由于A
2
=A，所以λ
2
=λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1． 又因为A
2
=A，即A(A-E)=O，故R(A)+R(A-E)=n.事实上，因为A(A-E)=O，所以 R(A)+R(A-E)≤n． 另一方面，由于E-A与A-E的秩相同，则有 n=R(E)=R[(E-A)+A]≤R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)， 从而 R(A)+R(A-E)=n． 当λ=1时，因为R(A-E)=n-R(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η
1
，η
2
，…，η
s
． 当λ=0时，因为R(A)=s，从而齐次线性方程组(0.E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量．因此，A属于特征值0有行一s个线性无关的特征向量，记为η
s+1
，η
s+2
，…，η
n
． 于是η
1
，η
2
，…，η
n
是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为
(Ⅱ)令P=(η
1
，η
2
，η
3
，…，η
n
)，则A=PAP
-1
，所以 ｜A-2E｜=｜PAP
-1
-2E｜=｜A-2E｜=
(Ⅱ)令P=(η
1
，η
2
，η
3
，…，η
n
)，则A=PAP
-1
，所以 ｜A-2E｜=｜PAP
-1
-2E｜=｜A-2E｜=
【答案解析】解析：利用非齐次线性方程组解的结构求解．先求对应导出组的基础解系，再求一个特解．