问答题
(1)设φ(x)在区间[0，1]上具有二阶连续的导数，且φ(0)=φ(1)=0．证明
(2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且
并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明
(2)设二元函数f(x，y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上具有连续的4阶导数，且并设在D的边界上f(x，y)≡0．证明
【正确答案】正确答案：(1)由分部积分，有 ∫
0
1
(x-x
2
)φ"(x)dx=∫
0
1
(x-x
2
)dφ'(x) =[(x-x
2
)φ'(x)]|
0
1
一∫
0
1
φ’(x)(1—2x)dx =一∫
0
1
(1—2x)dφ(x)=-[(1—2x)φ(x)]|
0
1
-∫
0
1
2φ(x)dx =φ(x)+φ(0)一2∫
0
1
φ(x)dx=一2∫
0
1
φ(x)dx， 所以
对于里层积分，将y视为常数，对x积分，并注意到 f(0，y)=f(1，y)=0． 所以套用(1)的结果，有
对此积分的里层积分，将x视为常数，对y积分，并注意到条件 f(x，0)=f(x，1)=0， 再套用(1)的结果，有
对于里层积分，将y视为常数，对x积分，并注意到 f(0，y)=f(1，y)=0． 所以套用(1)的结果，有
对此积分的里层积分，将x视为常数，对y积分，并注意到条件 f(x，0)=f(x，1)=0， 再套用(1)的结果，有
【答案解析】