(1)设A，B为n阶矩阵，|λE－A|=|λE－B|，且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A=
【正确答案】正确答案：(1)因为|λE－A|=|λE－B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
， 因为A，B都可相似对角化，所以存在可逆矩阵P
1
，P
2
，使得
由P
1
－1
AP
1
=P
2
－1
BP
2
得(P
1
P
2
－1
)
－1
A(P
1
P
2
－1
)=B， 取P
1
P
2
－1
=P，则P
－1
AP=B，即A～B． (2)由|λE－A|
=(λ－1)
2
(λ－2)=0得A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=λ
3
=1； 由|λE－B|
=(λ－1)
2
(λ－2)=0得B的特征值为λ
1
=2，λ
2
=λ
3
=1．
A的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为α
2
B的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为β
2
由P
1
－1
AP
1
=P
2
－1
BP
2
得(P
1
P
2
－1
)
－1
A(P
1
P
2
－1
)=B， 取P
1
P
2
－1
=P，则P
－1
AP=B，即A～B． (2)由|λE－A|
=(λ－1)
2
(λ－2)=0得A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=λ
3
=1； 由|λE－B|
=(λ－1)
2
(λ－2)=0得B的特征值为λ
1
=2，λ
2
=λ
3
=1．
A的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为α
2
B的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为β
2
【答案解析】