问答题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关，且
β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
，
讨论向量组β
1
，β
2
，β
s
的线性相关性．
【正确答案】正确答案：方法一 设x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
n
β
n
=0，即 (x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0． 因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则
其系数行列式
当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； 当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关． 方法二显然
因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则 r(β
1
，β
2
，…，β
s
)≤min{r(α
1
，α
2
，…，α
s
)，r(K)}=r(K)． ①r(K)=s
其系数行列式
当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； 当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关． 方法二显然
因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则 r(β
1
，β
2
，…，β
s
)≤min{r(α
1
，α
2
，…，α
s
)，r(K)}=r(K)． ①r(K)=s
【答案解析】