【正确答案】按平面图形绕平行于坐标轴y=一1的直线旋转所得的体积公式(1．3．5．8)：
V=π∫₁²[y一(一1)]dx求之，为此需先求出(y+1)²的表达式．
在=2(y+1)两边对y积分得到f(x，y)=y²+2y+c(x)．又由题设有
f(y，y)=(y+1)²－(2一y)lny，因而(y+1)²一(2一y)lny=y²+2y+c(y)．
则C(y)=1一(2一y)[ny，于是C(x)=1一(2一x)lnx，因而
f(x，y)=y²+2y+1一(2－x)lnx=(y+1)²一(2－x)lnx．
曲线f(x，y)=0即(y+1)²=(2一x)lnx，注意到(y+1)²≥0，有x∈[1，2]．于是所求的旋转体体积为
V=∫₁²π(y+1)²dx=π∫₁²(2一x)lnxdx=π∫₁²2lnxdx一∫₁²lnxdx²
=2π(xlnx∣₁²·∫₁²x·dx)—(x²lnx∣₁²—∫₁²x²·dx)
=2π(2ln2—1)一