简答题
11.设f(x)在[0，+∞)上连续，f＇(x)为(0，+∞)内的单调减函数,f(0)=0，试讨论函数g(x)=
【正确答案】g(x)=
[xf＇(x)－f(x)]f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，根据拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，x)使得f(x)－f(0)=f＇(ξ)x，因为f(0)=0，所以f(x)=f＇(ξ)x，进而g，(x)=
[xf＇(x)一xf＇(ξ)]=
。因为f＇(x)为(0，+∞)上的单调减函数，故有f＇(x)＜f＇(ξ)，进而有g＇(x)＜0，所以函数g(x)=
[xf＇(x)－f(x)]f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，根据拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，x)使得f(x)－f(0)=f＇(ξ)x，因为f(0)=0，所以f(x)=f＇(ξ)x，进而g，(x)=[xf＇(x)一xf＇(ξ)]=。因为f＇(x)为(0，+∞)上的单调减函数，故有f＇(x)＜f＇(ξ)，进而有g＇(x)＜0，所以函数g(x)=【答案解析】