问答题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S
2
，并设2S
1
一S
2
恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
【正确答案】正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y’(X-x)． 它与x轴的交点为
．由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0(x≥0)，于是
又S
2
=∫
0
x
y(t)dt，由条件2S
1
一S
2
=1，知
①式两边对x求导并化简得yy"=(y’)
2
．令p=y’，则方程可化为
．由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0(x≥0)，于是
又S
2
=∫
0
x
y(t)dt，由条件2S
1
一S
2
=1，知
①式两边对x求导并化简得yy"=(y’)
2
．令p=y’，则方程可化为
【答案解析】