【正确答案】设x=x₁α₁+x₂α₂∈R²，定义R²到自身的一个映射σ：
   σ(x)=x₁β₁+x₂β₂
   下面证明σ是R²的一个线性变换，设y=y₁α₁+y₂α₂∈R²，
   因为x+y=(x₁+y₁)α₁+(x₂+y₂)α₂，
   σ(x+y)=(x₁+y₁)β₁+(x₂+y₂)β₂
   =(x₁β₁+x₂β₂)+(y₁β₁+y₂β₂)
   =σ(x)+σ(y)，
   设k∈R，那么
   σ(kx)=kx₁β₁+kx₂β₂
   =k(x₁β₁+x₂β₂)
   =kσ(x)，
   所以σ是R²的一个线性变换，且满足σ(α_i)=β_i(i=1，2)．
   如果τ是R²的另一个线性变换，且满足r(α_i)=β_i(i=1，2)，
   因为α₁，α₂为R²的一组基，所以对于任意的x∈R²，有x=x₁α₁+x₂α₂，对某个x₁，x₂∈R成立
   σ(x)=x₁σ(α₁)+x₂σ(α₂)=x₁β₁+x₂β₂
   =x₁τ(α₁)+x₂τ(α₂)=τ(x)
   故σ=τ．
   又由于α=(3，4)^T=3α₁-2α₂，σ(α)=3β₁-2β₂=(4，1)^T．