问答题
设f'(x)在[a，b]上连续，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，
问答题
在(a，b)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)，使得f'(ξ1)=f(ξ1)，f'(ξ2)=f(ξ2)；
【正确答案】由积分中值定理，知存在c∈(a，b)，使得
[*]
设G(x)=e-xf(x)，显然，G(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且
G(a)=G(b)=G(c)=0
故根据罗尔定理分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得G'(ξ1)=G'(ξ2)=0，而
G'(x)=e-xf'(x)-e-xf(x)=e-x[f'(x)-f(x)]，
所以有 f'(ξ1)-f(ξ1)=0和f'(ξ2)-f(ξ2)=0，
即f(ξ1)=f(ξ1)和f'(ξ2)f(ξ2)
[*]
设G(x)=e-xf(x)，显然，G(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且
G(a)=G(b)=G(c)=0
故根据罗尔定理分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得G'(ξ1)=G'(ξ2)=0，而
G'(x)=e-xf'(x)-e-xf(x)=e-x[f'(x)-f(x)]，
所以有 f'(ξ1)-f(ξ1)=0和f'(ξ2)-f(ξ2)=0，
即f(ξ1)=f(ξ1)和f'(ξ2)f(ξ2)
【答案解析】
问答题
在(a，b)内至少有一点η，使得f"(η)=f(η)。
【正确答案】设F(x)=ex[f'(x)-f(x)]，则F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且
F(ξ1)=F(ξ2)=0
对F(x)在区间(ξ1，ξ2)上应用罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得F'(η)=0，而
F'(x)=exEx[f"(x)-f(x)]，
故有 f"(η)-f(η)=0，即f"(η)=f(η)
F(ξ1)=F(ξ2)=0
对F(x)在区间(ξ1，ξ2)上应用罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)使得F'(η)=0，而
F'(x)=exEx[f"(x)-f(x)]，
故有 f"(η)-f(η)=0，即f"(η)=f(η)
【答案解析】