问答题
求二次积分
【正确答案】
【答案解析】[分析与求解] 直接计算行不通，先表成D上的二重积分
确定积分区域D=D 1 ∪D 2 ：
D 1 ={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，
D 2 ={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，
如图(a)所示．
交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分，用分部积分法时遇到求导
的困难．
方法1° 对内层积分作变量替换t=x+y(对y积分时x为常量)得
为下面计算的方便，把t再换成y，即得
． ①
I可以写成在积分区或D 0 上的二重积分
，其中D
0
是由y轴，直线y=1，y=2以及y=x所围成的梯形区域，如图(b)所示．交换积分次序即得
方法2° 对①式用分部积分公式
方法3° 改用极坐标变换．令x=rcosθ，y=rsinθ，D由射线θ=0，
及直线
，
围成，于是
确定积分区域D=D 1 ∪D 2 ：
D 1 ={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，
D 2 ={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，
如图(a)所示．
交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分，用分部积分法时遇到求导
的困难．
方法1° 对内层积分作变量替换t=x+y(对y积分时x为常量)得
为下面计算的方便，把t再换成y，即得
． ①
I可以写成在积分区或D 0 上的二重积分
，其中D
0
是由y轴，直线y=1，y=2以及y=x所围成的梯形区域，如图(b)所示．交换积分次序即得
方法2° 对①式用分部积分公式
方法3° 改用极坐标变换．令x=rcosθ，y=rsinθ，D由射线θ=0，
及直线
，
围成，于是