问答题
设总体X的分布函数为
其中θ是未知参数且大于零．X
1
，X
2
，…，X
n
为来自总体X的简单随机样本．
(Ⅰ)求EX与EX
2
；
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量
；
(Ⅲ)是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有
{｜
其中θ是未知参数且大于零．X
1
，X
2
，…，X
n
为来自总体X的简单随机样本．
(Ⅰ)求EX与EX
2
；
(Ⅱ)求θ的最大似然估计量
；
(Ⅲ)是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有
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【正确答案】正确答案：(Ⅰ)X的概率密度为
所以EX＝∫
－∞
＋∞
χf(χ；θ)dχ＝
E(X)
2
＝∫
－∞
＋∞
χ
2
f(χ；θ)dχ＝
＝θ (Ⅱ)似然函数
当χ
1
，…χ
n
≥0时，nln2－nlnθ＋ln(χ
1
…χ
n
)－
，
令
＝0，解得θ＝
， 故
(Ⅲ)由E(X
2
)＝θ及辛钦大数定律知n→∞时，
，故知：取a＝θ，则有
ε＞0，均有
{｜
所以EX＝∫
－∞
＋∞
χf(χ；θ)dχ＝
E(X)
2
＝∫
－∞
＋∞
χ
2
f(χ；θ)dχ＝
＝θ (Ⅱ)似然函数
当χ
1
，…χ
n
≥0时，nln2－nlnθ＋ln(χ
1
…χ
n
)－
，
令
＝0，解得θ＝
， 故
(Ⅲ)由E(X
2
)＝θ及辛钦大数定律知n→∞时，
，故知：取a＝θ，则有
ε＞0，均有
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【答案解析】