设α
1
，…，α
n—1
，β
1
，β
2
均为n维实向量，α
1
，…，α
n—1
线性无关，且β
j
(j=1，2)与α
1
，…，α
n—1
均正交．证明：β
1
与β
2
线性相关．
【正确答案】正确答案：n+1个n维向量α
1
，…，α
n—1
，β
1
，β
2
，线性相关，故有不全为0的一组数k
1
，…，k
n—1
，k
n
，k
n+1
，使k
1
α
1
+…k
n—1
α
n—1
+k
n
β
1
+k
n+1
β
2
=0，且k
n
与k
n+1
不全为0(否则k
1
，…，k
n—1
不全为0，使k
1
α
1
+…k
n—1
α
n—1
=0，这与α
1
，…，α
n—1
线性无关矛盾)，用k
n
β
1
+k
n+1
β
2
与上面等式两端作内积，得‖k
n
β
1
+k
n+1
β
2
‖
2
=0，→k
n
β
1
+k
n+1
β
2
=0．且因k
n
和k
n+1
不全为0，知β
1
与β
2
线性相关．
【答案解析】